Velkommen

Skriv dit fornavn, så gemmes dine svar og dit resultat i denne browser. Så kan du fortsætte, hvor du slap, næste gang.

Matematik · Funktioner og ligninger
9. klasse · kernestof

Funktioner og ligninger

Denne side gennemgår det, du skal kunne om ligninger og lineære funktioner i 9. klasse: at løse ligninger med parenteser, brøker og x på begge sider, at forstå forskriften y = ax + b, og at aflæse og tegne grafer. Hvert modul har en forklaring med regneregler og eksempler, og en quiz med spørgsmål i stigende sværhedsgrad. Du kan bruge siden i klassen på tavlen, alene når du repeterer, eller printe den som opgaveark.

Quiz-fremgang: 0 af 0 spørgsmål besvaret

1 Ligninger

En ligning er to udtryk, der er lige store, med et lighedstegn imellem. At løse en ligning betyder at finde den værdi af x, der gør ligningen sand.

Tænk på lighedstegnet som en vægt i balance. Alt, hvad du gør på den ene side, skal du også gøre på den anden, ellers tipper vægten. Det er hele hemmeligheden bag at løse ligninger.

Regneregel · de fire tilladte træk
Du må lægge det samme til på begge sider, trække det samme fra på begge sider, gange begge sider med det samme tal, og dividere begge sider med det samme tal (undtagen 0). Målet er altid det samme: få x til at stå alene.

Eksempel: en simpel ligning

Løs 2x + 4 = 12. Vi fjerner først +4 og bagefter faktoren 2.

2x + 4 = 12
Vi starter her.
2x = 12 − 4 = 8
Træk 4 fra på begge sider.
x = 82 = 4
Divider begge sider med 2. Prøve: 2·4 + 4 = 12.

Regneregel: reducer først (saml ens led)

Regneregel · reduktion
Led med x kan lægges sammen: 3x + 2x = 5x. Tal kan lægges sammen med tal. Bogstav og tal kan ikke slås sammen — 5x + 3 kan ikke reduceres yderligere.

Løs 3x + 2x − 4 = 11.

3x + 2x − 4 = 11
Saml de to x-led.
5x − 4 = 11
3x + 2x = 5x.
5x = 15
Læg 4 til på begge sider.
x = 3
Divider med 5.

Regneregel: parenteser

Regneregel · gang ind i parentes
Tallet uden for parentesen ganges ind på hvert led indeni: a(b + c) = a·b + a·c. Et minus foran en parentes vender fortegnet på alle led: −(x − 3) = −x + 3.

Løs 2(x + 3) = 14.

2(x + 3) = 14
Gang 2 ind i parentesen.
2x + 6 = 14
2·x + 2·3.
2x = 8
Træk 6 fra.
x = 4
Divider med 2.

Regneregel: ligninger med brøker

Regneregel · gang brøken væk
Står x i en brøk, ganger du begge sider med nævneren, så brøken forsvinder. Har ligningen flere brøker, ganger du med det tal, alle nævnere går op i.

Løs x2 + 1 = 5.

x2 + 1 = 5
Træk 1 fra først.
x2 = 4
Nu står brøken alene.
x = 4 · 2 = 8
Gang begge sider med 2.

Ligninger med x på begge sider

Husk fortegnet. Når et led flytter over på den anden side af lighedstegnet, skifter det fortegn. +4 bliver til −4. Det er blot en hurtig måde at sige "læg til / træk fra på begge sider".

Løs 5x − 3 = 2x + 9.

5x − 3 = 2x + 9
Saml x-led til venstre.
3x − 3 = 9
Træk 2x fra på begge sider.
3x = 12
Læg 3 til.
x = 4
Divider med 3. Prøve: 5·4 − 3 = 17 = 2·4 + 9.

Opgave A Løs ligningerne

Løs ligningerne én ad gangen. Lav udregninger i Word med Geogebra eller Excel og vis din metode.

  1. x − 9 = 4
  2. 3x + 7 = 22
  3. 6x − 2x + 5 = 21
  4. 5(x − 2) = 25
  5. x3 − 2 = 4
  6. 7x + 4 = 3x + 24
  7. 3(x + 4) = 5(x − 2)
  8. Lav prøve på tre af dine svar: sæt tallet ind i den oprindelige ligning, og tjek at de to sider giver det samme.

Opgave B Fra tekst til ligning

Opstil først en ligning, og løs den bagefter. Skriv altid hvad x står for. Lav udregninger i Word med Geogebra eller Excel og vis din metode.

  1. En taxa koster 40 kr i startgebyr og 12 kr pr. kilometer. Turen kostede 160 kr. Hvor mange kilometer kørte den?
  2. To mobilabonnementer: A koster 60 kr om måneden plus 3 kr pr. GB. B koster 120 kr om måneden plus 1 kr pr. GB. Ved hvor mange GB koster de det samme? Hvilket er billigst ved 40 GB?
  3. Tre hele tal, der følger lige efter hinanden, giver tilsammen 96. Hvilke tre tal er det?
  4. Et rektangel har omkredsen 46 cm og er 5 cm længere end det er bredt. Find længden og bredden.
  5. Skriv selv en tekstopgave, hvor svaret bliver x = 7. Byt med sidemakkeren, og løs hinandens.
Quiz · Modul 1

Test dig selv: ligninger

Spørgsmålene bliver sværere undervejs. Du får svar og forklaring med det samme.

1. Løs x + 7 = 12. Let
2. Løs 2x + 5 = 17. Let
3. Løs 4x + 3x = 28. Mellem
4. Løs 4x − 2 = x + 10. Mellem
5. Løs 3(x + 2) = 18. Svær
6. Løs x4 + 3 = 5. Svær
7. Løs 2(x + 3) = 4(x − 1). Udfordring
0 / 7 rigtige Ret dine fejl, og gå videre til lineære funktioner.

2 Lineære funktioner

En funktion er en regel, der til hvert x-tal giver præcis ét y-tal. En lineær funktion giver altid en ret linje, når man tegner den.

y = a · x + b a er hældningen (stigningstallet) · b er skæringen med y-aksen (begyndelsesværdien)

Hvad betyder a og b?

b — skæring med y-aksen

Det er y-værdien, når x = 0. Grafen skærer y-aksen i punktet (0, b). "Startværdien".

a — hældning

Hvor meget y ændrer sig, hver gang x vokser med 1. Positiv a: linjen går opad. Negativ a: linjen går nedad.

Se på y = 2x + 1. Her er a = 2 og b = 1. Linjen skærer y-aksen i (0, 1), og for hvert skridt til højre går den 2 op.

-4-3-2-1123456-4-3-2-1123456xy1 til højre2 op(0, 1)(2, 5)y = 2x + 1
Grafen for y = 2x + 1. Det grønne punkt (0, 1) er skæringen med y-aksen (b = 1). Det stiplede trappetrin viser hældningen: fra (0, 1) går man 1 til højre og 2 op og lander i (1, 3) — derfor a = 2. Et skridt mere rammer (2, 5), som er markeret med blåt.
Hverdagseksempel · taxa

En taxa koster 39 kr i starttakst og 12,50 kr pr. kilometer.

Prisen er y = 12,50x + 39, hvor x er antal kilometer og y er prisen i kroner.

b = 39 er startgebyret — det du betaler, før bilen har kørt en meter. a = 12,50 er prisen pr. kilometer: hver gang turen bliver 1 km længere, stiger prisen 12,50 kr.

En tur på 7 km: 12,50 · 7 + 39 = 87,50 + 39 = 126,50 kr.

Taxaens pris123456789101112131415161718192020406080100120140160180200220240260280300kmkr(0, 39)(7, 126,50)y = 12,50x + 39
Grafen starter i 39 kr, før bilen kører. Det røde punkt er turen på 7 km.
Hverdagseksempel · vand i en balje

Du fylder vand i en balje. Efter 2 minutter er der 14 liter, efter 7 minutter er der 39 liter. Hvor hurtigt løber vandet?

De to målinger er punkterne (2, 14) og (7, 39). Hældningen er netop hastigheden:

a = (39 − 14) ÷ (7 − 2) = 25 ÷ 5 = 5 — der løber 5 liter i minuttet.

Trappetrinnet i figuren er de to tal fra brøken: 5 minutter hen ad, 25 liter op.

Læg mærke til, at grafen ikke starter i (0, 0). Sætter man x = 0 ind, får man b = 14 − 5 · 2 = 4: der stod allerede 4 liter i baljen, før hanen blev åbnet. Havde baljen været helt tom, ville der være 10 liter efter 2 minutter — ikke 14.

Vandet i baljen1234567891051015202530354045505560minutterliter5 til højre25 op(0, 4)(2, 14)(7, 39)y = 5x + 4
Det grønne punkt er de 4 liter, der stod i baljen fra start. Trappetrinnet mellem de to målinger giver hældningen: liter pr. minut.
Hverdagseksempel · elregningen

To elregninger: ved 300 kWh er regningen 1.025 kr, ved 500 kWh er den 1.625 kr. Hvad koster strømmen pr. kWh, og hvad er abonnementet?

Først a: a = (1.625 − 1.025) ÷ (500 − 300) = 600 ÷ 200 = 3 — strømmen koster 3 kr pr. kWh.

Så b: sæt (300, 1.025) ind: 1.025 = 3 · 300 + b, så b = 1.025 − 900 = 125 — abonnementet er 125 kr, som du betaler, selv hvis du ikke bruger strøm.

Forskriften er y = 3x + 125. En måned med 420 kWh koster 3 · 420 + 125 = 1.385 kr.

Elregningen5010015020025030035040045050055060010020030040050060070080090010001100120013001400150016001700180019002000kWhkr(0, 125)(300, 1.025)(500, 1.625)y = 3x + 125
De to regninger er de orange punkter. Linjen gennem dem skærer y-aksen i abonnementet på 125 kr.
Hverdagseksempel · kontoen der bliver tom

Du har 2.400 kr på kontoen og bruger 300 kr om ugen. Hvornår er der ingenting tilbage?

Beløbet er y = −300x + 2.400. Hældningen er negativ, fordi beløbet falder.

Nulpunktet er det, du leder efter: sæt y = 0. 0 = −300x + 2.400, så 300x = 2.400 og x = 8.

Kontoen er tom efter 8 uger. Et nulpunkt er sjældent bare et tal på en akse — her er det den dag, pengene slipper op.

Pengene på kontoen1234567891011122004006008001000120014001600180020002200240026002800ugerkr(0, 2.400)(8, 0)y = −300x + 2.400
Det røde punkt er nulpunktet: uge 8, hvor der er 0 kr tilbage.
Hverdagseksempel · to fitnesscentre

Center A koster 199 kr om måneden plus 25 kr pr. holdtime. Center B koster 299 kr plus de samme 25 kr pr. holdtime.

A: y = 25x + 199 og B: y = 25x + 299. Samme a, forskellig b — altså parallelle.

Det betyder noget konkret: B er 100 kr dyrere end A, uanset hvor mange holdtimer du tager. Ved 4 timer koster A 299 kr og B 399 kr. Ved 8 timer koster A 399 kr og B 499 kr. Forskellen er de samme 100 kr hele vejen.

Derfor krydser parallelle linjer aldrig hinanden: der findes ikke et antal holdtimer, hvor de to centre koster det samme.

Pris pr. måned12345678910111250100150200250300350400450500550600650700holdtimerkr(0, 199)(0, 299)A: 25x + 199B: 25x + 299
Afstanden mellem linjerne er 100 kr hele vejen — det er forskellen på de to månedspriser.
Hverdagseksempel · spare op til en telefon

Du har 900 kr og lægger 350 kr til side hver måned. Telefonen koster 4.400 kr. Hvornår har du pengene?

Opsparingen er y = 350x + 900. Spørgsmålet "hvornår har jeg 4.400 kr?" er ligningen 350x + 900 = 4.400.

350x = 4.400 − 900 = 3.500, så x = 3.500 ÷ 350 = 10.

Du har pengene efter 10 måneder. På grafen er det præcis dér, hvor opsparingen krydser højden 4.400 kr — at løse ligningen og at finde skæringspunktet er den samme ting.

Opsparingen12345678910111213142505007501000125015001750200022502500275030003250350037504000425045004750500052505500månederkr(10, 4.400)y = 350x + 900telefonen: 4.400 kr
Den orange linje er telefonens pris. Opsparingen rammer den efter 10 måneder.
Hverdagseksempel · euro til kroner

1 euro koster 7,46 kr. Grafen viser, hvad et beløb i euro svarer til i kroner: y = 7,46x.

Aflæs 40 euro: gå lodret op fra 40 på euro-aksen til linjen, og derefter vandret ind til kroner-aksen. Du rammer omkring 300 kr.

Regn efter: 7,46 · 40 = 298,40 kr. Aflæsningen passer.

Her er b = 0, fordi 0 euro er 0 kroner — linjen går gennem (0, 0). Det gælder altid, når den ene ting bare er den anden ganget med et fast tal.

Euro vekslet til kroner510152025303540455055606570758085909510050100150200250300350400450500550600650700750800eurokr(40, 298,40)y = 7,46x
Det røde punkt er aflæsningen: 40 euro svarer til 298,40 kr.

Regneregel: find hældningen a fra to punkter

Regneregel · hældning
Kender du to punkter (x₁, y₁) og (x₂, y₂): a = y₂ − y₁x₂ − x₁ — altså ændringen i y divideret med ændringen i x.

Linjen gennem (1, 3) og (4, 9): a = 9 − 34 − 1 = 63 = 2.

-2-112345678910-2-112345678910xy3 til højre6 op(1, 3)(4, 9)y = 2x + 1
De to punkter (1, 3) og (4, 9). Det stiplede trappetrin er brøkens to tal: 3 til højre er nævneren 4 − 1, og 6 op er tælleren 9 − 3. Hældningen er de to divideret med hinanden: 6 ÷ 3 = 2.

Regneregel: find hele forskriften fra to punkter

Regneregel · bestem forskrift
Find først a med formlen ovenfor. Sæt derefter et af punkterne ind i y = ax + b og løs for b.

Punkterne (1, 5) og (3, 11). Først a = 11 − 53 − 1 = 62 = 3. Sæt (1, 5) ind: 5 = 3·1 + b, så b = 2. Forskriften er y = 3x + 2.

-4-3-2-112345678910-2-1123456789101112xy2 til højre6 op(1, 5)(3, 11)(0, 2)y = 3x + 2
Trappetrinnet giver a: 2 til højre og 6 op, altså 6 ÷ 2 = 3. Det grønne punkt (0, 2) er b — der hvor linjen skærer y-aksen. Først hældningen, så skæringen: det er de to skridt i reglen.

Regneregel: nulpunkt (hvor grafen skærer x-aksen)

Regneregel · nulpunkt
På x-aksen er y = 0. Sæt y = 0 og løs ligningen for x.

For y = 2x − 6: sæt 0 = 2x − 6, så 2x = 6 og x = 3. Nulpunktet er (3, 0).

-3-2-11234567-8-7-6-5-4-3-2-112xy(3, 0)(0, −6)y = 2x − 6
Det røde punkt (3, 0) er nulpunktet — det eneste sted på linjen, hvor y = 0. Det ligger altid på x-aksen. Det grønne punkt (0, −6) er skæringen med y-aksen, så de to må ikke forveksles.
Parallelle linjer. To linjer er parallelle, når de har samme hældning a. Fx er y = 2x + 1 og y = 2x − 4 parallelle.
-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-11234xy(0, 1)(0, −4)y = 2x + 1y = 2x − 4
Samme hældning, forskellig b. Linjerne har præcis samme vinkel og mødes derfor aldrig — afstanden mellem dem er den samme hele vejen. Det eneste, der skiller dem, er hvor de skærer y-aksen: i (0, 1) og (0, −4).
Sammenhængen med ligninger. Når du løser 2x + 1 = 7, spørger du: "For hvilket x giver funktionen y = 2x + 1 værdien 7?" På grafen svarer det til at finde det x, hvor linjen er i højden y = 7.
-2-112345678910-2-112345678910xy(3, 7)y = 2x + 1y = 7
Den orange linje er højden y = 7. Den rammer grafen ét sted, og det sted har x = 3 — netop løsningen til ligningen 2x + 1 = 7. At løse en ligning er altså at finde et skæringspunkt.
Skal du bruge GeoGebra til opgave C og D? Ni trin, der dækker præcis det, du skal: sætte punkterne ind, tegne linjen, få hældningen, finde nulpunktet og få billedet ind i Word. Åbn vejledningen.

Opgave C Find forskriften

I alle tre dele skal du finde en forskrift y = ax + b ud fra noget, du kan måle. Husk at skrive, hvad x og y står for. Lav udregninger i Word med Geogebra eller Excel og vis din metode.

Kajakudlejningen

Du finder to gamle kvitteringer fra udlejningen: 2 timer kostede 200 kr, og 5 timer kostede 350 kr. Prisen stiger lige meget for hver time.

Kajakudlejningen · de to kvitteringer12345678255075100125150175200225250275300325350375400425450475500timerkr(2, 200)(5, 350)
De to kvitteringer er sat ind som punkter. Til opgave d skal du tegne linjen igennem dem.
  1. Hvad koster én time? Det er hældningen a.
  2. Find hele forskriften. Hvad fortæller b om prisen — hvad betaler du, før du overhovedet er kommet i vandet?
  3. Hvad koster 7 timer?
  4. Tegn linjen gennem de to punkter i figuren ovenfor, og tjek at den rammer det beløb, du regnede i c.
Telefonens batteri

Du aflæser batteriet to gange i løbet af dagen: efter 1 time er der 80 %, og efter 4 timer er der 50 %. Det falder lige meget hver time.

  1. Hvor mange procent taber telefonen i timen? Hvorfor er a negativ her?
  2. Find hele forskriften. Hvad var batteriet på, da du begyndte at måle?
  3. Find nulpunktet — hvor mange timer går der, før telefonen er død?
Hvem ændrer sig hurtigst?

Lisas telefon taber strøm efter y = −18x + 95. Omar sidder med sin i opladeren, og hans følger y = 12x + 20.

  1. Hvis telefon ændrer sig hurtigst? Begrund dit svar — og forklar, hvad fortegnet på a fortæller, som tallet alene ikke gør.
Quiz · Modul 2

Test dig selv: lineære funktioner

Brug y = ax + b. Spørgsmålene stiger i sværhedsgrad.

1. I y = 3x − 5: hvad er hældningen a? Let
2. Hvor skærer y = 3x − 5 y-aksen? Let
3. Hvad er y i y = 2x + 1, når x = 3? Let
4. En linje går gennem (2, 4) og (5, 13). Hældningen er? Mellem
5. Hvad er nulpunktet for y = 2x − 8? Mellem
6. Hvilken linje er parallel med y = 4x − 7? Svær
7. Find forskriften for linjen gennem (1, 5) og (3, 11). Udfordring
0 / 7 rigtige Godt gået. Nu til graferne.

3 Aflæsning af grafer

En graf viser sammenhængen mellem x og y som en linje i et koordinatsystem. Du skal kunne aflæse værdier og forstå, hvad de betyder.

Sådan aflæser du et punkt

Vil du finde y ud fra et bestemt x, går du lodret op fra x-aksen til linjen og derefter vandret ind til y-aksen. Vil du den anden vej, gør du det modsatte.

1 2 3 4 1 2 3
Her aflæses: når x = 2, er y = 2. Den stiplede linje viser vejen — lodret op fra x = 2 til grafen, derefter vandret ind til y-aksen. Denne linje har forskriften y = x.

Regneregel: bestem a og b direkte fra grafen

Regneregel · aflæs forskrift
b aflæses, hvor linjen skærer y-aksen. a findes ved at gå 1 til højre og se, hvor mange enheder linjen går op (eller ned). Så har du y = ax + b.

Regneregel: skæring mellem to grafer

Regneregel · skæringspunkt
To linjer krydser hinanden dér, hvor de har samme x og samme y. Du finder punktet ved at sætte de to forskrifter lig med hinanden og løse ligningen.

Hvor skærer y = 2x og y = x + 3 hinanden? Sæt lig: 2x = x + 3, så x = 3. Sæt ind: y = 2·3 = 6. Skæringspunktet er (3, 6).

Hverdagen i grafen. x kan være tid og y en pris, en afstand eller en mængde. Hældningen fortæller "hvor hurtigt", og skæringen med y-aksen fortæller "hvor man startede".

Opgave D Aflæs og regn efter

To mobilabonnementer er tegnet i samme koordinatsystem. x er antal GB data om måneden, y er prisen i kroner. Alt herunder kan aflæses på figuren — men du skal kunne vise ved regning, at aflæsningen passer. Lav udregninger i Word med Geogebra eller Excel og vis din metode. Sådan gør du i GeoGebra.

To mobilabonnementer1234567891011121314151617181920255075100125150175200225250275300325350375400425450475500GBkrAbonnement AAbonnement B
Aflæs på figuren. Tjek bagefter dine aflæsninger ved at regne efter.
  1. Aflæs b for hvert abonnement. Hvad hedder det tal i virkeligheden — hvad betaler du, hvis du slet ikke bruger data?
  2. Aflæs a for hvert abonnement med et trappetrin. Gå 5 GB til højre — det er nemmere at aflæse end 1 — se hvor mange kroner linjen stiger, og del med 5. Hvad hedder det tal i virkeligheden?
  3. Skriv forskriften for hvert abonnement.
  4. Aflæs skæringspunktet. Hvad betyder det punkt, når man skal vælge abonnement?
  5. Vis ved regning, at skæringspunktet er rigtigt: sæt de to forskrifter lig hinanden, og løs ligningen.
  6. Hvad koster 12 GB hos hver af dem? Hvem er billigst der?
  7. Hvilken linje er stejlest, og hvad betyder det i kroner for den, der bruger meget data?
  8. Du bruger 5 GB om måneden. Hvilket abonnement skal du vælge, og hvor meget sparer du om året?
Quiz · Modul 3

Test dig selv: grafer

Kig på beskrivelserne og forskrifterne.

1. På grafen for y = x ovenfor: hvad er y, når x = 4? Let
2. En linje går nedad fra venstre mod højre. Hvad ved du om a? Let
3. To linjer krydser hinanden i (3, 5). Hvad betyder det? Mellem
4. En linje skærer y-aksen i (0, 2) og går 1 op for hvert 1 til højre. Forskriften er? Mellem
5. Hvor skærer y = 2x og y = x + 3 hinanden? Svær
0 / 5 rigtige Sidste stop: den blandede quiz.
Afslutning

Blandet quiz — hele emnet

Spørgsmål på tværs af ligninger, funktioner og grafer, i stigende sværhedsgrad.

1. Løs 6x − 4 = 2x + 12. Let
2. Hvilken funktion har hældning 4 og skærer y-aksen i (0, −2)? Let
3. En taxa koster 40 kr. i start plus 12 kr. pr. km. Prisen y for x km er? Mellem
4. Med y = 12x + 40: hvad koster en tur på 5 km? Mellem
5. Med y = 12x + 40: hvor mange km kan man køre for 100 kr.? Svær
6. Løs 5(x − 2) = 3x + 8. Svær
7. Hvor skærer y = 3x + 1 og y = x + 7 hinanden? Udfordring
0 / 7 rigtige

Du kan altid gå tilbage og læse afsnittene igen, hvis et spørgsmål driller.

R Dine resultater

Løs opgaverne, så udfyldes din oversigt her automatisk. Skriv dit fornavn øverst, hvis du vil have dit resultat gemt.

ModulRigtigeBesvaret